题目真的很 “简单”, 但在缺乏提示的情况下未必容易做出, 有些在其他书是直接写在正文里的.
参考书目
- 应坚刚 & 金蒙伟. (2016). 随机过程基础 (第二版). 复旦大学出版社.
- Baldi, P. (2017). Stochastic Calculus: An Introduction Through Theory and Exercises. Springer.
应老师写过很多相关讲义, 包括随机分析, Brown 运动, 一般马氏过程等, 内容有不少重复. 这本《随机过程基础》可以算是一个合集, 而且 2021 年要出第三版了. 后称为应书. Paolo Baldi 这本书的最大卖点在于, 自带答案, 这对于内容 “比较高级” (虽然只讲了 “基础” 知识) 的课本来说极为难得. 其他读过的一些随机分析的书就不列在此处了.
默认在 $\mathbb R$ 上考虑. 用 $B_t$ 表示标准 Brown 运动 (从 0 出发). 这里采用的 Brown 运动的定义要求它几乎所有轨道连续. 其他记号都是标准的.
Brown 桥
来自应书 Brown 运动一节. 设 $r < s < t$, 求 $\mathbb E(B_s \vert B_r, B_t)$.
Hint: Brown 桥 $B_s - \frac{s}{t}B_t$ 与 $B_t$ 独立. 更一般地, 由于只涉及 Gauss 过程, 结果应当为 Gauss 过程的线性变换.
Brown 运动的时间逆转不变性
Brown 运动的刻画 连续实值随机过程 $B$ 是标准 Brown 运动当且仅当它是中心化的 Gauss 过程且 $\mathbb E B_t B_s = t\wedge s$.
随机分析中还有 Levy 的 Brown 运动鞅刻画, 从略. 下题来自应老师随机分析讲义 Brown 运动的性质一节. 如下定义的过程
\[\begin{align*} M_t = \begin{cases} 0, & t = 0;\\ t B_{1/t}, & t > 0, \end{cases} \end{align*}\]是标准 Brown 运动.
证明. 只要证 $M$ 连续, 关键是证明在 $t=0$ 处连续. 由于 $M$ 和 $B$ 有相同的有限维分布, 由 Brown 运动的构造定理, 存在 $M$ 的连续修正 $\tilde M$. 因为 $M$ 在 $(0, \infty)$ 上连续, 故在其上和 $\tilde M$ 恒等, 因此 $\lim_{t\to 0} M_t = \lim_{t\to 0} \tilde M_t =0$. $\square$
反射原理
有很多东西都被称为反射原理. 来自应书 Brown 运动与经典位势一节. 首中时 $T_a = \inf\{t>0: B_t = a \}$, 则
\[\begin{align*} B_t^a = \begin{cases} B_t, & t < T_a;\\ 2a - B_t, & t \ge T_a, \end{cases} \end{align*}\]是标准 Brown 运动.
证明. 参考 uchicago 的讲义. 由强 Markov 性知 $B_{s+T_a} - B_{T_a}$ 是标准 Brown 运动, 且独立于 $\{B_s: 0\le s\le T_a\}$. 因此
\[\begin{align*} \mathbb P(B_t \in A, t \ge T_a) &= \mathbb P(B_{T_a} + B_t - B_{T_a} \in A, t \ge T_a)\\ &= \mathbb P(B_{T_a} + ( B_{s+T_a} - B_{T_a} ) \in A, s \ge 0)\\ &= \mathbb P(B_{T_a} - ( B_{s+T_a} - B_{T_a} ) \in A, s \ge 0)\\ &= \mathbb P(a - ( B_t - a ) \in A, t \ge T_a). \end{align*}\]即得. $\square$
计算题
来自应书 Brown 运动一节. 计算
\[\mathbb E\left[ \int_0^t B_s \mathop{}\!\mathrm{d}s \mid B_t \right],\]以及
\[\mathbb E\left[ \exp\left(\int_0^t B_s \mathop{}\!\mathrm{d}s \right) \right].\]解. 参考 这个回答. 记 $A_t = \int_0^t B_s \mathrm{d}s$. 因为
\[A_t = \lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^n \frac1n B_{tj/n}\]是 Gauss 随机变量的点点收敛的极限 (只要依分布收敛即可), 故 $A$ 是 Gauss 过程. 由 Fubini 定理, 期望
\[\mathbb E A_t = \int_0^t \mathbb E B_s \mathop{}\!\mathrm{d}s = 0,\]方差 $\mathbb E A_t^2 = t^3/3$. 另外, $\operatorname{Cov} (A_t B_t) = t^2/2$, 故
\[\mathbb E\left[ \int_0^t B_s \mathop{}\!\mathrm{d}s \mid B_t \right] = \frac t2 B_t.\]再由
\[\mathbb E (X-\mathbb E X)^2 = \mathbb E (X - \mathbb E (X|\mathcal F))^2 + \mathbb E (\mathbb E X - \mathbb E (X|\mathcal F))^2,\]得到条件方差 (比如 这个回答), 最后易得.