逻辑回归复习: 为什么不用 OLS

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把 logisitic 翻译成逻辑并不恰当, 但就先这么用了.

A quick go through

有很多路径可以得到逻辑回归, 最直接地, 它是广义线性模型, 假设 log odds 可以线性表示 (从而决策边界是线性的), 即

\[\log \frac{\mathbb P (Y = 1 \mid X)}{\mathbb P (Y = 0 \mid X)} = \beta'X,\]

其中 $Y \in \{0, 1\}$, 随机向量 $X = (1, X_2, \dots, X_{p+1})’$, 参数 $\beta = (\beta_1, \dots, \beta_{p+1})’$. 用极大似然估计参数, 用 Newton 法计算优化问题. 类似地容易推广到 softmax 形式.

Motivation 我认为可以这样理解: (1) 决策边界是线性的, 于是有右边项 $\beta’X$; (2) 两个概率之比大于某个阈值则预测为其中一个, 而由于概率非负, 所以最便利的让 odds 非负的办法是写为 $\exp(\beta’X)$, 或者其他任何单调变化都可以. 最后两个概率之和为 1 天然成立.

周志华西瓜书上把动机说为用 sigmoid 逼近阶梯函数, 虽然 sigmoid 可以, 但并不必要.

为什么不用最小二乘?

不能用 OLS 但可以用别的最小二乘, 参考 Logistic 回归模型的参数估计为什么不能采用最小二乘法?. 下面讨论为什么 OLS 不行.

MLE 性质好 线性回归用的最小二乘估计恰好等价于极大似然估计: 在一般线性回归的 setting 下 (残差服从 Gauss 分布等假设), 可以证明 MLE (极大似然估计) 和 MSE (最小二乘估计) 等价; 而 MLE 有很多好性质 (在正则条件下), 比如相合性 (估计收敛到真实参数) 和渐近正态性等.

凸优化好求解 经典统计问题求解 MLE 都是凸优化, 这个问题也是: 负对数似然为

\[L_{\text{MLE}} = \sum_{i=1}^n \left[ - y_i \beta' x_i + \log (1 + \mathrm{e}^{\beta'x_i}) \right],\]

其中 $n$ 是样本数, $y_i$ 是第 $i$ 个样本的标签 (0 或 1), $x_i = (x_{i, 1}, \dots, x_{i, p+1})’$ 是第 $i$ 个样本的特征 (列向量, 第一项为 1). 根据二阶导易知为凸.

普通最小二乘的损失函数

\[L_{\text{OLS}} = \frac12\sum_{i=1}^n (y_i - \hat y_i)^2,\]

其中 $\hat y_i = \sigma(\beta’ x_i)$, $\sigma$ 为 sigmoid 函数. 求导

\[\begin{align*} \frac{\partial L_{\text{OLS}}}{\partial \beta_j} &= \sum_{i=1}^n x_{ij} (\hat y_i - y_i) \hat y_i (1 - \hat y_i) \\ &= - \sum_{i=1}^n x_{ij} \left( \hat y_i^3 - (1+y_i)\hat y_i^2 + y_i \hat y_i \right), \end{align*}\]

以及

\[\frac{\partial^2 L_{\text{OLS}}}{\partial \beta_j \partial \beta_k} = - \sum_{i=1}^n x_{ij} x_{ik} \hat y_i (1 - \hat y_i) \left( 3 \hat y_i^2 - 2(1+y_i)\hat y_i + y_i \right).\]

上式可写为矩阵形式

\[H_{\text{OLS}} = - X'AX,\]

其中 $X = (x_{ij})$ 是矩阵 (和上一节的定义不同), $A$ 是对角阵. 根据 $y_i$ 取 0 或 1 分类讨论易知 $A$ 不一定负定, 从而 $H_{\text{OLS}}$ 不一定正定, 也就是 OLS 的损失函数不一定为凸.

收敛速度快 对 OLS, 从上一段求出的梯度中有 $\hat y_i (1 - \hat y_i)$ (来自 sigmoid 函数求导), 比如若 $y_i = 1$, 但 $\hat y_i$ 接近 0, 此时梯度依然很平缓, 导致收敛速度慢.

对 MLE

\[\frac{\partial L_{\text{MLE}}}{\partial \beta_j} = \sum_i x_{ij}(\hat y_i - y_i),\]

收敛快.

另外 OLS 不便于推广到多分类.

References and further reading